Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Bilangan Berpangkat Positif, Negatif, dan Nol

Pengertian Perpangkatan
Perpangkatan merupakan perkalian berulang sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri.
Contoh:
22 (dibaca: dua pangkat dua) yang sama artinya dengan 2 x 2
43 (dibaca: empat pangkat tiga) yang sama artinya dengan 4 x 4 x 4
75 (dibaca: tujuh pangkat lima) yang sama artinya dengan 7 x 7 x 7 x 7 x 7

Bilangan Berpangkat Positif
Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/ eksponen positif.
Contoh:
32 = 3 x 3 = 9
43 = 4 x 4 x 4 = 64
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4
(-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

Bilangan kuadrat sempurna seperti 1, 4, 9, dan 16 dapat dinyatakan dalam bentuk geometri seperti di bawah ini:

Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil kali dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri.
Sebagai contoh di atas 16 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 16 = 4 x 4. Notasi 4 x 4 dapat dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk pangkat ini menjelaskan pada kita berapa suatu bilangan yang kita sebut sebagai basis atau bilangan pokok digunakan sebagai faktor.
Bilangan yang digunakan sebagai pangkat disebut eksponen atau pangkat.
Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai 42. Pada notasi, 4 menyatakan bilangan pokok atau basis, dan 2 menyatakan pangkat atau eksponen.

Contoh:
Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk eksponen
a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bilangan pokoknya adalah 2 dan faktornya adalah 5.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25.
b. m x m x m x m
Bilangan pokoknya adalah m dan
faktornya adalah 4.
m x m x m x m = m4.
c. 7
Bilangan pokoknya adalah 7 dan
faktornya adalah 1
7 = 71.
d. Tuliskan (2)(2)(2)( – 5)( – 5) dalam bentuk eksponen.
Dengan menggunakan sifat asosiatif kita kelompokkan faktor dengan bilangan pokok yang sama sebagai berikut:
(2)(2)(2)(-5)(-5) = [(2)(2)(2)][(-5)(-5)] = 23(-5)2

Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar108 kilometer.
Tuliskan bilangan ini sebagai pernyataan perkalian dan hitunglah hasilnya.
108 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 100.000.000
Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar 100 juta kilometer.

Bilangan Berpangkat Negatif dan Nol
Bilangan bulat berpangkat negative
Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat adalah bulat negatif.
Perhatikan pola bilangan berikut untuk menemukan nilai 10-1 dan 10-2. Dengan memperluas pola yang ada, maka hasil yang dapat diperoleh adalah 10-1 = 1/10 dan 10-2 = 1/〖10〗^2 1/100

Pada pola tersebut, apabila kamu kalikan bilangan pokok, pangkatnya naik satu. Sebagai contoh 103 x 10 = 104. Sedangkan apabila kamu bagi dengan bilangan pokok, pangkatnya turun satu. Sebagai contoh, 10-2 : 10 = 10-3
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0 berlaku

Bilangan a^(-n) disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
(-6)-3 = (-1/6)^3 = (-1/6) x (-1/6) x (-1/6) = -1/216
Tuliskan 10-3 menggunakan pangkat positif. Kemudian tentukan nilainya.
10-3 = 1/〖10〗^3 = 1/1000 = 0,001
Sederhanakan pernyataan
xy-2 = x . y-2 = x. 1/( y^2 ) = x/y^2
Bakteri E.coli memiliki lebar 10-3 milimeter. Jarum pentul memiliki diameter 1 milimeter. Berapa banyak bakteri E.coli yang dapat mengisi diameter jarum tersebut.
Untuk menentukan banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10-3 = 1/〖10〗^(-3) = 103 = 1000
Jadi banyak bakteri yang dapat mengisi diameter jarum pentul adalah 1000 bakteri.

Bilangan bulat berpangkat nol
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0, maka

Bilangan a0 = disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
30 = 1
(-10)0 = 1
(-21)-3+3 = (-21)0 = 1
(-6)4-3-1 = (-6)0 = 1

Bilangan Pecahan Berpangkat
Bentuk pangkat dapat ditulis sabagai berikut:
(a/b)^n= a/b x a/b x…x a/b= a^n/b^n

Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0
(a/b)^(-n)= b/a x b/a x…x b/a= b^n/a^n

Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n n, a ≠ 0
a^m/a^n = 1/a^(n-m) , , dengan m < 0, a ≠ 0
(a x b)m = am x bm
(a/b)^m = a^m/b^m , dengan b ≠ 0
Contoh:
p 2 . p -6 = p 2-6 = p -4 = 1/p^4
(p -3 . q 5)4 = (p -3)4 . (q 5)4 = p -12 . q 20 = q^20/p^12
p^10/p^6 = p10-6 = p4
(p^(-1)/q^3 )^(-5) = (p^(-1) )^(-5)/(q^3 )^(-5) = p^5/q^(-15) = p5q15
(-6p)0 = 1

Bentuk Akar
Rindy mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Rindy akan menambahkan renda di tepi saputangan. Berapa panjang renda yang diperlukan Rindy?
Untuk membantu Rindy, kita harus tahu panjang sisi persegi agar kita dapat menghitung keliling saputangan tersebut.
Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Rindy harus menentukan n × n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 900.
Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai √900 = 30.
Dengan demikian Rindy harus menyediakan renda dengan panjang 4 x 30 cm = 120 cm.
Bentuk √900 dibaca “ akar kuadrat dari 900 “.

Simbol √ disebut tanda akar, digunakan untuk menyimbolkan akar pangkat dua.
Contoh:
√(36 ) = 6
– √36 = -6
Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif.

Pada persoalan mencari rusuk suatu kubus bila volume diketahui, maka kita akan berhadapan dengan bentuk akar yang lain, yaitu akar pangkat tiga. Misalkan diketahui volume suatu kubus adalah 64 cm3, berapakah panjang rusuk kubus tersebut?
Misal panjang rusuk tersebut adalah p, maka volume kubus adalah
V = p x p x p
= p3
Dengan demikian diperoleh p3 = 64. Bagaimanakah kita memperoleh p? Ingat bahwa 43 = 64 dengan demikian p = 4.

Secara umum dapat kita tuliskan:

Contoh:
Sederhanakanlah bentuk berikut
√49
Karena 72 = 49, maka √49 = 7
-√64
Karena 82 = 64, maka -√64 = -8

Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m + n}
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³
Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}
Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 3^{4 x 2}

Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³
Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n= ¹/₂^_n , secara umum dapat ditulis :

Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
(¹/₂)⁵
Jawab :

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^mdapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :

jawab :

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
Jika tidak ada tanda kurungnya maka

pangkat dan akar sama kuat;
kali dan bagi sama kuat;
tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya

Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√bdapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .

Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

jawab :

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti