Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras

A. Teorema Pythagoras

Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”

jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:
c² = a² + b²
Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:
a² = c² – b²
b² = c² – a²
Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.
Contoh :
Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.
Rumus Pythagoras      : a² = b² + c²
Turunannya : b² = a² – c²
c² = a² – b²
B.       Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku
Contoh :
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm. Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC² = AC² + AB²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC = 5 cm
2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC² = AB² + BC²
20² = (4x)² + (3x)²
400 = 16x² + 9x^2\
400 = 25x²
16    = x²
= x
3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.
jawab:
OU² = OB² + UB²
OU² = 80² + 60²
OU² = 6.400 + 3.600
OU² = 10.000
OU = 100 km

C.      Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras
1. Kebalikan Dalil Pythagoras
Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a²= b² + c².
Dalam    ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a² = b² + c² maka     ABC siku-siku di A.
Jika b² = a² +c² maka    ABC siku-siku di B.
Jika c² = a² + b² maka    ABC siku-siku di C.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a² = b² + c² maka     ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika a² > b² + c² maka     ABC adalah segitiga tumpul.
Jika a² < b² + c² maka     ABC adalah segitiga lancip.
Contoh :
Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi
1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.
Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm
a² = 8² = 64
b² + c² = 7² + 5²
b² + c² = 49 + 25
b² + c² = 74
karena a² < b² + c², maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci
2. 8cm, 7cm dan 12 cm
Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm
a² = 12² = 144
b² + c² = 7² + 8²
b² + c² = 49 + 64
b² + c² = 113
karena a² > b² + c², maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul
2. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 5² = 4² + 3²
^{contoh soal}

Soal No. 1
Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:

Tentukan panjang sisi miring segitiga!

Pembahasan
AB = 6 cm
BC = 8 cm
AC = ......

Mencari sisi miring sebuah segitiga dengan teorema pythagoras:

Soal No. 2
Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:

Tentukan panjang sisi alas segitiga!

Pembahasan
PR = 26 cm
PQ = 10 cm
QR = ......

Menentukan salah satu sisi segitiga yang bukan sisi miring:

Soal No. 3
Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki panjang 28 cm.

Tentukan luas segitiga tersebut!

Pembahasan
Tentukan tinggi segitiga terlebih dahulu:

Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi sehingga didapat hasil:

Soal No. 4
Perhatikan gambar segitiga berikut!

Tentukan panjang sisi AB!

Pembahasan
Perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut 45° adalah sebagai berikut:

Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian didapat:

Berikutnya akan dibahas soal-soal segitiga yang menggunakan perbandingan dengan sudut-sudut 30^o dan 60^o

Soal No. 5
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!

Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!

Pembahasan
Tengok perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung sudut 30° dan 60° kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC:

Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:

Soal No. 6
Perhatikan gambar!

Panjang AD adalah....
A. 15 cm
B. 17 cm
C. 24 cm
D. 25 cm
(Dari Soal UN Matematika SMP - 2011 Teorema Pythagoras)

Pembahasan
Tentukan panjang AC dari segitiga ABC terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan mencari panjang AD dari segitiga ACD, keduanya adalah sisi miring pada masing-masing segitiga.

Soal No. 7
Perhatikan gambar berikut!

Panjang AB = BC = 8 cm dan CD = AD = 6 cm. Panjang AC =.....
A. 4,8 cm
B. 9,6 cm
C. 10 cm
D. 14 cm

Pembahasan
Perhatikan segitiga ABD, yang siku-siku di A. Ingat bab sudut keliling lingkaran, kenapa sudut A adalah 90°.

Dengan pythagoras akan ditemukan panjang BD = 10 cm. Terlihat segitiga ABD dengan alas BD = 10 cm dan tinggi t yang belum diketahui. Putar sedikit segitiga ABD hingga seperti gambar dibawah.

Setelah diputar, DA = 6 cm menjadi alas dan AB = 8 cm menjadi tingginya. Dengan prinsip bahwa luas satu segitiga itu sama meskipun mengambil alas dan tinggi yang berbeda, diperoleh nilai tinggi sebelum segitiga diputar.

Jadi panjang AC adalah 9,6 cm.

Soal No. 8
Perhatikan limas TABCD alasnya berbentuk persegi. Keliling alas limas 72 cm, dan panjang TP = 15 cm.

Volume limas adalah...
A. 4.860 cm³
B. 3.888 cm³
C. 1.620 cm³
D. 1.296 cm³

Pembahasan
Penerapan teorema pythagoras pada penentuan volume sebuah limas. Volume limas adalah sepertiga kali luas alas kali tingginya.

Panjang salah satu sisi alas karena bentuknya persegi adalah
s = keliling / 4
s = 72 / 4 = 18 cm

Dengan pythagoras tingginya dapat ditentukan, kemudian masukkan ke volume limas.

Soal No. 9
Perhatikan gambar trapesium ABCD berikut ini!

AD = 13 cm, dan AE = 10 cm. Panjang CH = panjang HI.
AB = 64 cm dan ΔEAK, ΔFKL, ΔGLM dan ΔHMB samakaki.
Tentukan luas daerah yang diarsir!

Soal No. 10
Diketahui keliling belahketupat 52 cm dan salah satu diagonalnya 24 cm. Luas belahketupat ABCD adalah....
A. 312 cm²
B. 274 cm²
C. 240 cm²
D. 120 cm²

Pembahasan
Penerapan teorema pythagoras dalam menentukan luas bangun datar. Belahketupat kelilingnya 52
Panjang sisi belahketupat AB = BC = CD = DA = 52 : 4 = 13 cm

Jika AC = 24, maka panjang AE = 12 cm. Gunakan pythagoras untuk mendapatkan panjang BE, diperoleh BE = 5 cm, sehingga diagonal BD = 10 cm

Luas belah ketupat = (AC x BD) / 2 = (24 x 10) / 2 = 120 cm²

Soal No. 11
Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga :
I. 3 cm, 4 cm, 5 cm
II. 7 cm, 8 cm, 9 cm
III. 5 cm, 12 cm, 15 cm
IV. 7 cm, 24 cm, 25 cm

Yang merupakan ukuran sisi segitiga siku-siku adalah....
A. I dan II
B. I dan III
C. II dan III
D. I dan IV

Pembahasan
Angka-angka yang memenuhi pythagoras / tripel pythagoras / tigaan pythagoras diantaranya:
3, 4, 5 dan kelipatannya seperti (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) dan seterusnya.
5, 12, 13 dan kelipatannya.
7, 24, 25 dan kelipatannya
8, 15, 17 dan kelipatannya
9, 40, 41 dan kelipatannya
11 ,60, 61 dan kelipatannya
12, 35, 37 dan kelipatannya
13, 84, 85 dan kelipatannya
15, 112, 113 dan kelipatannya
16, 63, 65 dan kelipatannya
17, 144, 145 dan kelipatannya
19, 180, 181 dan kelipatannya
20, 21, 29 dan kelipatannya
20, 99, 101 dan kelipatannya
dan seterusnya masih banyak lagi.

Jawab: D. I dan IV.

Soal No. 12
Diberikan sebuah segitiga siku-siku samakaki seperti gambar!