Barisan dan Deret

A. Barisan Aritmatika

(1) 3, 7, 11, 15, 19, ...

(2) 30, 25, 20, 15, 10,...

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.

Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.

Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.

Suatu barisan U₁, U₂, U₃,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).

3, 7, 11, 15, 19, ...

Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka

U₁ = 3 =+ 4 (0)

U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)

U₃= 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)

....

U_n = 3 + 4(n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

U_n = a + b(n-1)

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika

U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, ... barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, ... adalah deret aritmetika.

Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).

3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...

Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_nmaka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus

b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

SOAL LATIHAN

1. Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!

Penyelesaian :

*) y – x = 36 → y = 36 + x → 5x = 36 + x

*) y= 5x 4x = 36→ x = 9 → y = 45

U₅ = 9 → a + 4b = 9

U₂ = 45 → a + b = 45 -

3b = -36

b = – 12 U₁₀ = a + 9b

a = 57 = 57 – 108 = – 51

2. Misalkan a₁ + a₂ + a₃+ a₄+ a₅+ a₆ adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika a₂ = 8 maka tentukan a₆ !

a₁ + a₂ + a₃+ a₄+ a₅+ a₆ = 75 a₂ = 8

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75 a + b = 8

6a + 15b = 75 a = 8 – b

2a + 5b = 25

2(8 – b) + 5b = 25

16 + 3b = 25 → b = 3 → a = 5 → a₆ = a + 5b = 5 + 15 = 20

3. 1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?

= 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197

= 1–3+ 12 –9+ 24 – 15+ 36 – 21+….. – 189 + 384 – 195 + 197

= 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195

= 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195)

= 198 + 6336 – 3267 = 3267

4. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :

kelompok 1 : {1},

kelompok 2 : {3,5},

kelompok 3 : {7,9,11},

kelompok 4 : {13,15,17,19}, …

dst

maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?

kelompok 1 : {1} = 1² – 0

kelompok 2 : {3,5} = 2² – 1

kelompok 3 : {7,9,11} = 3² – 2

kelompok 4 : {13,15,17,19} = 4² – 3

Kelompok 100 : = 100² – 99 = 10.000 – 99 = 9.901

5. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !

Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16

(a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)

a² = (a + 9)(a – 6)

a² = a² + 3a – 54

3a = 54 → a = 18

Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54

6. Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama !

S₁₀ = 5(2a + 9b) U₁₁ + U₁₂ = 2 2a + 9b = – 22

– 110 = 5(2a + 9b) a + 10b + a+ 11b =2 2a + 21b = 2 -

– 22 = 2a + 9b 2a + 21b = 2 12b = 24 b =2 → a = – 20

sehingga a + a + b = – 40 + 2 = – 38

7. Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai c ?

a.b.c.d.e = 1.024

a.ar.ar².ar³.ar⁴ = 4⁵ karena c merupakan suku ke-3 maka

a⁵.r¹⁰ = 4⁵ c = ar² = 4

(ar²)⁵ = 4⁵

ar² = 4

8. Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x + y !

y : x = x : 3 18 – y = y – x

x² = 3y 2y = 18 + x → y = (18 + x)/2

x² = 3(18 + x)/2

2x² = 3(18 + x) sehingga : x + y = 6 + 12 = 18

2x² – 3x – 54 =0

(2x + 9)(x – 6) = 0

x = 6 → y = 12

9. Diketahui p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah dari ketiga akar adalah 12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut !

r – q = q – p r = 3p p + q + r = 12

2q = p + r p + 2p + 3p = 12

2q = p + 3p 6p = 12

2q = 4p p = 2→ q = 4 → r = 6

q = 2p

sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0

10. Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku – suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Hitung jumlah dari bilangan yang disisipkan !

2S₄ = 3(U₂ +U₄)

2 a(r⁴ - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar³)

2a(r⁴ – 1) = 3ar(1 + r²)(r – 1)

2(r² + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r² +1)(r – 1) x = a + 2b = 2 + 4 = 6

2r + 2 = 3r y = a + 4b = 2 + 8 = 10

r = 2 z = a + 5b = 2 + 10 = 12

U₁ U₂ x U₃ y z w U₄ w =a+ 6b = 2 + 12 =14 +

a 2a 4a 8a x + y + z + w = 42

b =2a – a

2 = a

Contoh soal

.1. Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ?

Jawab :

Dik :

deret : 1. 3, 5, 7, ...

a = 1

b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2

Un = a + (n-1) b

= 1 + (25-1)2

= 1 + (24).2

= 1 + 48

= 49

Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49

2. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka cari nilai dari suku pertamanya ?

Jawab :

Dik :

U15 = 32

b = 2

n = 15

Ditanya : a ?

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b

U15 = a + (15-1) 2

32 = a + (14).2

32 = a + 28

a = 32 - 28

a = 4

Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4.

3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58.

Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b)

b). Besarnya suku ke-10

Jawab :
Diketahui :

U7 = 33

U12 = 58

Penyelesaian :

a). U7 = a + (7-1)b

33 = a + 6b

U12 = a + (12-1)b

58 = a + 11b

Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.

58 = a + 11b

33 = a + 6b (-)

25 = 5b

b = 25/5

b = 5

33 = a + 6b

33 = a + 6.(5)

33 = a + 30

a = 33 - 30

a = 3

b). Un = a + (n-1) b

U10 = 3 + (10-1). 5

= 3 + (9).5

= 3 + 45

= 48

4. 4. Dalam suatu barisan aritmatika, jika U₃ + U₇= 56 dan U₆ + U₁₀ = 86 , maka suku ke-2 deret tersebut adalah ?

Jawab :

U₃ + U₇= 56

(a + 2b) + (a +6b) = 56

2a + 8b = 56 (dibagi 2)

a + 4b = 8 ….(1)

U₆ + U₁₀ = 86

(a + 5b) + (a + 9b) = 86

2a + 14b = 86 (dibagi 2)

a + 7b = 43 ….(2)

Eliminasi (1) dan (2)

a + 4b = 8

a + 7b = 43 –

-3b = -15

b = 5 ….(3)

a = 8

jadi suku k-2 deret tersebut : U₂ = a + b = 8 + 5 = 13.

5. 5. Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 16 5, maka U₁₉ ?

INGAT bahwa : Un = a + (n – 1)b

U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b = 165

a + 18b = 55

sehingga U₁₉= a + (19 – 1)b

= a + 18b = 55 .

6. Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …

a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

U_n = a + (n – 1)b

U₁₀= 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

U_n = a + (n – 1)b

= 3 + (n – 1)5

= 3 + 5n – 5

= 5n – 2

b. Misalkan U_n = 198, maka berlaku :

U_n = 198

5n – 2 = 198

5n = 200

n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

1. 6. itunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :

S₂₀ = 10( 6 + 19.2)

= 10 ( 6 + 38)

= 10 ( 44 }

= 440

2. 7. Suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 2 suku pertamanya adalah 240, jumlah 7 suku pertamanya adalah ?

Jawab :

B = 2

S_2o= 240

Ingat bahwa : S_n= n/2(2a + (n -1)b

S₂₀= 20/2(2.a + (20 – 1).2)

240=10(2a + 38)

240=20a +380 dibagi 10

24=2a +38

2a=24-38

2a=-14

A=-7

Sehingga :

S₇= 7/2(2a + (7 – 1)b)

=7/2(2(-7) + (7 – 1)2)

=7/2(-14 + 12 )

= -7

3. 8. Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah U . diketahui U₃+ U₆+ U₉+ U₁₂= 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ?

Jawab :

Suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan : U_n = a + (n – 1)b

Sehingga :

U₃+ U₆+ U₉+ U₁₂= 72

(a +2b) + (a + 5b) + (a + 11b) = 72

4a + 26b = 72 (dibagi dengan 2)

2a + 13b = 36

Ingat bahwa jumlah n-suku pertama deret aritmatika :

S_n= n/2(2a + (n -1)b

S₁₄= 14/2(2a + 13b) = 7(36) =252.

4.       9. Diketahui     : U3 = 36, U5 + U7 = 144
Ditanya    : S10 ?
Jawab    :
Un = a + ( n – 1 )b
U3 = 36
U3 = a + ( 3 – 1 )b = 36
U3 = a + 2b = 36     … (1)
U5 + U7 = 144    { U5 = a + ( 5 – 1 )b }, { U7 = a + ( 7 – 1 )b }
( a + 4b ) + ( a + 6b ) = 144
2a + 10b = 144    … (2)
Eliminasi kedua persamaan :
a + 2b = 36     … (1)    | x 2        2a + 4b = 72
2a + 10b = 144    … (2)    | x 1        2a + 10b = 144 –
                            –6b = –72
                            b = 12
Subtitusi nilai b ke salah satu persamaan :
a + 2b = 36     … (1)
a + 2(12) = 36
a = 36 – 24
a = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan baru kita mencari nilai dari S10
Sn = □(n/2) { 2a + ( n – 1 )b }
S10 = □(10/2) { 2(12) + ( 10 – 1 )12 }
S10 = 5 { 24 + (9)12 }
S10 = 5 { 24 + 108 }
S10 = 5 { 132 }
S10 = 660

10. Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S₅). Pertama kita cari nilai a dan b.

U₃ = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U₄ = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
- b = -4 ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S₅= 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

11. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah ....

A. 200 D. 203

B. 201 E. 204

C. 202

Jawaban : B

U_n = a + ( n – 1 )b

U₁₀ = a + 9b = 41

U₅ = a + 4b = 21 _

5b = 20 → b = 4

a + 4b = 21 → a + 4.4 =21 → a + 16 = 21→ a =5

U₅₀ = a + ( 50 – 1 )4

= 5 + 49.4

= 5 + 196

= 201

12. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n² + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah ….

A. 44 D. 38

B. 42 E. 36

C. 40

(UN 2012)

Jawaban : A

U_n = S_n– S_n _{– 1}

U₂₀ = S₂₀ – S₁₉ = (20² + 5.20) – (19² + 5.19)

= 500 – 456 = 44

13. Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….

A. 1.050 kg D. 1.650 kg

B. 1.200 kg E. 1.750 kg

C. 1.350 kg

(UN 2011 P54)

Jawaban : D

Diketahui : a = 120 kg, b = 10 kg, n = 10 bln

= 1.650 kg

14. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉= ….

A. 10 D. 55

B. 19 E. 82,5

C. 28,5

(UN 2010 P12)

Jawaban : D

U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b = 165 (dibagi 3)

a + 18b = 55

Jadi U₁₉ = a + 18b = 55

Pages

MATEMATIKA

Mengenai Saya

Thursday, 6 November 2014