Thursday, 6 November 2014

Bangun Ruang sisi datar

Bangun Ruang

Prisma

Rumus volume luas alas * tinggi Balok

Rumus Volume Balok = panjang x lebar x tinggi

luas permukaan balok = 2(pl)+2(lt)+2(pt)Tabung

Rumus Volume = luas alas * tinggi

= π * r2 * tinggi

Prisma segitiga

Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 × (alas segitiga × tinggi segitiga) × tinggi prisma

Kubus

Rumus = sisi pangkat 3 Limas (piramida)

Rumus = 1/3 * volume prisma

= 1/3 * luas alas * tinggi Limas persegi

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * luas persegi * tinggi

Limas segitiga

Rumus = 1/3 luas alas tinggi

= 1/3 1/2 alas segitiga tinggi segitiga tinggi prisma Kerucut

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * π * r2 * tinggi

Prisma

Rumus volume = luas alas * tinggi

Balok

Rumus = luas alas * tinggi

= panjang * lebar * tinggi

Tabung

Rumus = luas alas * tinggi Teks miring

= π * r2 * tinggi

Prisma segitiga

Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Kubus

Rumus = sisi * sisi * sisi

= s3

Limas (piramida)

Rumus = 1/3 * volume prisma

= 1/3 * luas alas * tinggi

Limas persegi

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * luas persegi * tinggi

Limas segitiga

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Prisma

Rumus volume = luas alas * tinggi

Balok

Rumus = luas alas * tinggi

= panjang * lebar * tinggi

[sunting] Tabung

Rumus = luas alas * tinggi

= π * r2 * tinggi

[sunting] Prisma segitiga

Rumus = luas alas * tinggi

= 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

[sunting] Kubus

Rumus = sisi * sisi * sisi

= s3

Limas (piramida)

Rumus = 1/3 * volume prisma

= 1/3 * luas alas * tinggi

Limas persegi

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * luas persegi * tinggi

Limas segitiga

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Kerucut

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * phi * r2 * tinggi

Kerucut

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

= 1/3 * phi * r2 * tinggi

Macam bangun datar

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama Bangun Datar

Persegi Panjang, yaitu bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan yang sama panjang, dan memiliki empat buah titik sudut siku-siku.

Persegi, yaitu persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.

Segitiga, yaitu bangun datar yang terbentuk oleh tiga buah titik yang tidak segaris

Jajar Genjang, yaitu segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar.

Trapesium, yaitu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar.

Layang-layang, yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya.

Belah Ketupat, yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus.

Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius, atau jari-jari.

[sunting]Rumus bangun datar

Rumus Bangun Datar

Rumus Persegi

Luas = s x s = s2

Keliling = 4 x s

dengan s = panjang sisi persegi

Rumus Persegi Panjang

Luas = p x l

Keliling = 2p + 2l = 2 x (p + l)

dengan p = panjang persegi panjang, dan l = lebar persegi panjang

Rumus Segitiga

Luas = ½ x a x t

dengan a = panjang alas segitiga, dan t = tinggi segitiga

Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Rumus Jajar Genjang

Luas = a x t

dengan a = panjang alas jajargenjang, dan t = tinggi jajargenjang

Rumus Trapesium

Luas = ½ x (s1 + s2) x t

dengan s1 dan s2 = sisi-sisi sejajar pada trapesium, dan t = tinggi trapesium

Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Lingkaran

Luas = π (pi) x jari-jari (r)

Sifat-sifat bangun datar

Layang-layang= terbagi atas 2 digonal yang berbeda ukurannya

KUMPULAN SOAL BANGUN RUANG SISI DATAR

A. Pilihlah satu jawaban yang tepat

1. Aku adalah sebuah bangun ruang yang memiliki 6 sisi dan 4 titik sudut. Selain itu, aku memiliki 12

rusuk yang sama panjang. Aku adalah....

a. Prisma segitiga c. kubus

b. Limas segilima d. Balok

2. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 15 cm maka luas permukaan kubus tersebut

adalah...

a. 875 cm2 c. 1250 cm2

b. 1350 cm2 d. 975 cm2

3. Diketahui luas permukaan suatu kubus adalah 864 cm2 maka panjang rusuk kubus tersebut adalah...

a. 12 cm c. 14 cm

b. 13 cm d. 15 cm

4. Adi mempunyai aquarium berbentuk kubus. Adi ingin mengisi aquarium tersebut dengan air. Berapakah cm3 air yang dibutuhkan Adi untuk mengisi aquarium tersebut jika panjang rusuk aquarium adalah 17 cm?

a. 4193 cm3 c. 4913 cm3

b. 4391 cm3 d. 4493 cm3

5. Diketahui volume kubus adalah 2197 cm3 maka panjang rusuk kubus tersebut adalah...

a. 13 cm c. 14 cm

b. 15 cm d. 17 cm

6. Suatu kubus memiliki luas permukaan 2400 cm2 maka volume kubus tersebut adalah...

a. 21 cm c. 20 cm

b. 22 cm d. 19 cm

7. Volume kubus ABCD.EFGH adalah 729 cm3 maka luas permukaan kubus tersebut adalah...

a. 468 cm2 c. 476 cm2

b. 493 cm2 d. 486 cm2

8. Ruas garis PR dan RT masing-masing secara berurutan menunjukkan....

a. Rusuk dan diagonal bidang

b. Diagonal bidang dan diagonal ruang

c. Diagonal ruang dan diagonal sisi

d. Diagonal ruang dan rusuk

9. Perhatikan gambar balok pada soal nomor 12. Berapakah panjang diagonal ruang pada balok

tersebut?

a. 8 cm c. 6 cm

b. 7 cm d. 5 cm

10. Berapa banyakkah bidang diagonal yang dapat dibuat pada suatu balok?

a. 2 buah c. 6 buah

b. 4 buah d. 8 buah

11. Sebuah ruangan berbentuk balok akan dicat dindingnya. Jika ukuran panjang, lebar, dan tinggi ruangan

tersebut adalah 5 m, 4 m, dan 3 m maka luas dinding yang dicat adalah...

a. 24 m2 c. 54 m2

b. 30 m2 d. 94 m2

12. Sebuah kerangka balok memiliki ukuran panjang 10 cm, lebar 8 cm, dan tinggi 9 cm. Kerangka balok tersebut rencananya akan dibuat dari seutas kawat. Berapa cm kah kawat yang dibutuhkan untuk membuat kerangka balok tersebut?

a. 108 cm c. 72 cm

b. 24 cm d. 27 cm

13. Sebuah akuarium berbentuk balok memiliki ukran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah 60 cm, 36 cm, dan 45 cm. Jika akuarium itu akan diisi air sebanyak bagian maka volume air yang dibutuhkan adalah....

a. 2.025 cm3 c. 7.290 cm3

b. 5.625 cm3 d. 72900 cm3

14. Volume sebuah balok adalah 385 cm3 . jika ukuran panjang, lebar dan tinggi balok secara berturut-turut adalah 11 cm, 5 cm, dan (3+x) cm maka nilai x adalah...

a. 4 c. 6

b. 5 d. 7

15. Diketahui volume suatu balok adalah 154 cm3 , panjangnya 11 cm, lebarnya 2 cm. Tentukan luas permukaan balok tersebut!

a. 360 cm2 c. 256 cm2

b. 336 cm2 d. 226 cm2

16. Banyaknya titik sudut pada prisma segitiga adalah…

a. 6 buah c. 10 buah

b. 8 buah d. 12 buah

17. Suatu prisma alasnya berbentuk segitiga dengan panjang sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, volume prisma adalah…

a. 90 cm3 c. 250 cm3

b. 200 cm3 d. 300 cm3

18. Diketahui luas permukaan prisma tegak segiempat beraturan 864 cm2 dan tinggi prisma 12 cm. Panjang sisi alas prisma adalah…

a. 8 cm c. 12 cm

b. 10 cm d. 14 cm

19. Diketahui suatu limas dengan alas berbentuk persegi. Luas alas limas 144 cm2 dan tinggi limas 8 cm. Luas permukaan limas adalah…

a. 204 cm2 c. 484 cm2

b. 384 cm2 d. 1.152 cm2

20. Diketahui volume suatu prisma 450 cm3. Alas prisma berbentuk segitiga siku – siku dengan panjang sisi 5 cm, 13 cm, dan 12 cm. Tinggi prisma adalah…

a. 12 cm c. 14 cm

b. 13 cm d. 15 cm

21. Sebuah prisma memiliki luas alas 84 cm2. Jika tinggi prisma tersebut adalah 17 cm, volumenya adalah…

a. 2628 cm3

b. 1428 cm3

c. 878 cm3

d. 848 cm3

22. Luas permukaan suatu prisma adalah 576 cm2. Jika luas sisi tegaknya adalah 332 cm2 maka luas alas prisma tersebut adalah…

a. 448 cm2

b. 244 cm2

c. 122 cm2

d. 61 cm2

23. Jika suatu limas luas alasnya 240 cm2 dan tinggi 30 cm maka volume limas adalah…

a. 2400 cm3 c. 4840 cm3

b. 4400 cm3 d. 7200 cm3

24. Suatu limas memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan ukuran 25 x 15 cm. Jika tinggi limas 7 cm, volume limas adalah…

a. 262,5 cm3 c. 870 cm3

b. 484 cm3 d. 875 cm3

25. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB=8 cm dan luas bidang TAB=24 cm2. Volume limas itu adalah…

a. 94,3 cm3 c. 95,4 cm3

b. 94,5 cm3 d. 96 cm3

26. Alas sebuah limas adalah sebuah segitiga dengan panjang alas 10 cm dan tinggi 18 cm. Jika tinggi limas tersebut adalah 18 cm maka volume limas adalah…

a. 420 cm3 c. 1246 cm3

b. 840 cm3 d. 1200 cm3

27. Sebuah limas memiliki alas berbentuk persegi. Jika volume limas dan tinggi limas berturut – turut adalah 567 cm3 dan 21 cm maka diagonal bidang alas limas tersebut adalah…

a. 9 cm c. 2V9 cm

b. 9V2 cm d. 2 cm

28. Berikut ini merupakan cirri khusus dari limas yaitu…

a. Memiliki titik puncak

b. Memiliki dua sisi yang sama bentuk dan ukurannya

c. Memiliki panjang rusuk yang sama

d. Memiliki sisi berhadapan yang sama panjang

29. Volume limas segi empat beraturan 400 liter dan tingginya 12 dm. Luas selubung limas itu adalah…

a. 180 dm2 c. 260 dm2

b. 240 dm2 d. 360 dm2

30. Diberikan limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk alas 6 dm. dan panjang rusuk tegaknya 10 dm. Volume limas itu adalah…

a. 144 liter c. 80,37V3 liter

b. 96,3V3 liter d. 52 liter

Thursday, 30 October 2014

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Bilangan Berpangkat Positif, Negatif, dan Nol

Pengertian Perpangkatan
Perpangkatan merupakan perkalian berulang sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri.
Contoh:
22 (dibaca: dua pangkat dua) yang sama artinya dengan 2 x 2
43 (dibaca: empat pangkat tiga) yang sama artinya dengan 4 x 4 x 4
75 (dibaca: tujuh pangkat lima) yang sama artinya dengan 7 x 7 x 7 x 7 x 7

Bilangan Berpangkat Positif
Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/ eksponen positif.
Contoh:
32 = 3 x 3 = 9
43 = 4 x 4 x 4 = 64
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4
(-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

Bilangan kuadrat sempurna seperti 1, 4, 9, dan 16 dapat dinyatakan dalam bentuk geometri seperti di bawah ini:

Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil kali dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri.
Sebagai contoh di atas 16 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 16 = 4 x 4. Notasi 4 x 4 dapat dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk pangkat ini menjelaskan pada kita berapa suatu bilangan yang kita sebut sebagai basis atau bilangan pokok digunakan sebagai faktor.
Bilangan yang digunakan sebagai pangkat disebut eksponen atau pangkat.
Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai 42. Pada notasi, 4 menyatakan bilangan pokok atau basis, dan 2 menyatakan pangkat atau eksponen.

Contoh:
Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk eksponen
a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bilangan pokoknya adalah 2 dan faktornya adalah 5.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25.
b. m x m x m x m
Bilangan pokoknya adalah m dan
faktornya adalah 4.
m x m x m x m = m4.
c. 7
Bilangan pokoknya adalah 7 dan
faktornya adalah 1
7 = 71.
d. Tuliskan (2)(2)(2)( – 5)( – 5) dalam bentuk eksponen.
Dengan menggunakan sifat asosiatif kita kelompokkan faktor dengan bilangan pokok yang sama sebagai berikut:
(2)(2)(2)(-5)(-5) = [(2)(2)(2)][(-5)(-5)] = 23(-5)2

Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar108 kilometer.
Tuliskan bilangan ini sebagai pernyataan perkalian dan hitunglah hasilnya.
108 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 100.000.000
Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar 100 juta kilometer.

Bilangan Berpangkat Negatif dan Nol
Bilangan bulat berpangkat negative
Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat adalah bulat negatif.
Perhatikan pola bilangan berikut untuk menemukan nilai 10-1 dan 10-2. Dengan memperluas pola yang ada, maka hasil yang dapat diperoleh adalah 10-1 = 1/10 dan 10-2 = 1/〖10〗^2 1/100

Pada pola tersebut, apabila kamu kalikan bilangan pokok, pangkatnya naik satu. Sebagai contoh 103 x 10 = 104. Sedangkan apabila kamu bagi dengan bilangan pokok, pangkatnya turun satu. Sebagai contoh, 10-2 : 10 = 10-3
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0 berlaku

Bilangan a^(-n) disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
(-6)-3 = (-1/6)^3 = (-1/6) x (-1/6) x (-1/6) = -1/216
Tuliskan 10-3 menggunakan pangkat positif. Kemudian tentukan nilainya.
10-3 = 1/〖10〗^3 = 1/1000 = 0,001
Sederhanakan pernyataan
xy-2 = x . y-2 = x. 1/( y^2 ) = x/y^2
Bakteri E.coli memiliki lebar 10-3 milimeter. Jarum pentul memiliki diameter 1 milimeter. Berapa banyak bakteri E.coli yang dapat mengisi diameter jarum tersebut.
Untuk menentukan banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10-3 = 1/〖10〗^(-3) = 103 = 1000
Jadi banyak bakteri yang dapat mengisi diameter jarum pentul adalah 1000 bakteri.

Bilangan bulat berpangkat nol
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0, maka

Bilangan a0 = disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
30 = 1
(-10)0 = 1
(-21)-3+3 = (-21)0 = 1
(-6)4-3-1 = (-6)0 = 1

Bilangan Pecahan Berpangkat
Bentuk pangkat dapat ditulis sabagai berikut:
(a/b)^n= a/b x a/b x…x a/b= a^n/b^n

Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0
(a/b)^(-n)= b/a x b/a x…x b/a= b^n/a^n

Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n n, a ≠ 0
a^m/a^n = 1/a^(n-m) , , dengan m < 0, a ≠ 0
(a x b)m = am x bm
(a/b)^m = a^m/b^m , dengan b ≠ 0
Contoh:
p 2 . p -6 = p 2-6 = p -4 = 1/p^4
(p -3 . q 5)4 = (p -3)4 . (q 5)4 = p -12 . q 20 = q^20/p^12
p^10/p^6 = p10-6 = p4
(p^(-1)/q^3 )^(-5) = (p^(-1) )^(-5)/(q^3 )^(-5) = p^5/q^(-15) = p5q15
(-6p)0 = 1

Bentuk Akar
Rindy mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Rindy akan menambahkan renda di tepi saputangan. Berapa panjang renda yang diperlukan Rindy?
Untuk membantu Rindy, kita harus tahu panjang sisi persegi agar kita dapat menghitung keliling saputangan tersebut.
Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Rindy harus menentukan n × n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 900.
Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai √900 = 30.
Dengan demikian Rindy harus menyediakan renda dengan panjang 4 x 30 cm = 120 cm.
Bentuk √900 dibaca “ akar kuadrat dari 900 “.

Simbol √ disebut tanda akar, digunakan untuk menyimbolkan akar pangkat dua.
Contoh:
√(36 ) = 6
– √36 = -6
Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif.

Pada persoalan mencari rusuk suatu kubus bila volume diketahui, maka kita akan berhadapan dengan bentuk akar yang lain, yaitu akar pangkat tiga. Misalkan diketahui volume suatu kubus adalah 64 cm3, berapakah panjang rusuk kubus tersebut?
Misal panjang rusuk tersebut adalah p, maka volume kubus adalah
V = p x p x p
= p3
Dengan demikian diperoleh p3 = 64. Bagaimanakah kita memperoleh p? Ingat bahwa 43 = 64 dengan demikian p = 4.

Secara umum dapat kita tuliskan:

Contoh:
Sederhanakanlah bentuk berikut
√49
Karena 72 = 49, maka √49 = 7
-√64
Karena 82 = 64, maka -√64 = -8

Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m + n}
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³
Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}
Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 3^{4 x 2}

Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³
Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n= ¹/₂^_n , secara umum dapat ditulis :

Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
(¹/₂)⁵
Jawab :

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^mdapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :

jawab :

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
Jika tidak ada tanda kurungnya maka

pangkat dan akar sama kuat;
kali dan bagi sama kuat;
tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya

Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√bdapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .

Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

jawab :

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti