Bilangan Bulat

Bilangan Bulat

1. Pengertian Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, ...
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : ..., -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}


2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.


3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :

Contoh : 7 + (-10) = 7 - 10 = -3
Sifat-sifatnya :
a. Komutatif :

b. Asosiatif :

c. Tertutup :

d. Memiliki identitas :

e. Invers penjumlahan :



4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :

Contoh : 8 - (-2) = 8 + 2 = 10


5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)

Sifat-sifat :



6. Pembagian
Pembagian adalah kebalikan (invers) dari perkalian.
Rumus :



7. Perpangkatan dan Sifat



8. Akar Pangkat Dua dan Akar Pangkat Tiga

 

Soal latihan

1.      Pak Burhan akan menjual berasnya sebanyak 60 karung dengan berat per karung 70 kg. ia akan menjualnya melalui seorang  komisioner bernama Ali Sastro dengan kesepakatan 3%, rofaksi 10%, dan komisi 15%. Beras dijual Rp. 4000,00 per kg.

Tentukan :

a)      Hasil komisi yang diterima Pak Ali

b)      Hasil penjualan yang diterima Pak Burhan

Cara → a Berat bruto = 60 x 70 kg = 4.200 kg

                          Tarra = 3 % x 4.200 kg = 126 kg _

                          Netto                                    = 4.074 kg

            Rafaksi : 10 % x 4.074 kg = 407,4 kg _

            Berat bersih setelah Rafaksi = 3666,6 kg

-          Hasil penjualan sebelum komisi

3666,6 kg x 4000 = 14.666.400

-          Komisi yang diperoleh pak Ali

15 % x 14.666.400 = 2. 199.960

            b.  14.666.000 – 2.199.960 = 12.466.440

2.      Suatu gedung bertingkat direncanakan akan direnovasi  dengan 400 pekerja selama 120 minggu. Setelah berjalan 30 minggu, pekerjaan dihentikan sementara selama 25 minggu. Renovasi ingin selesai sesuai dengan rencana semula. Berapakah pekerja yang harus ditambahkan dalam pembangunan tersebut ?

Jawab : 100 orang

Cara →                                    rencana semula

               Pekerja                                                 waktu

                   400                                   →                    120 minggu

                     X                                    →                      90 minggu

  X        90       →        400 x 90          = 300

400      120                       120

Pekerja yang harus ditambahkan adalah =

400 – 300 = 100 orang

3.      Sederhanakanlah bentuk akar dibawah ini :

a)      3 √6 x ( 3 √5 x √80 )

b)      3 √28 x (√3     -   2 √7 )

c)      2 √5 x ( 2 √120 + 5 √24 )

Jawab : 

a   3 √6 x ( 3√9+√80 )                       B     3 √28 x (√3-2√7 )               c.  2√5 x (2√120 + 5√24)

       3 √6 + ( 3√5+√5x16 )                          3 √4.7 + ( √3)             2√5 + (2√2.60 + 5√4.6)

       3 √6 + ( 3√5 x 4√5 )                                          2√7                 2√5 + (2.2√5.6 x 5.2√6)

       3 √6 + ( 3. 4√5 )                       3.2√7 + √3                              2√5 + 4√5.6 x 10√6

       3 √6 + 12√5                                                    2√7

                                                        6 √7 + √3

                                                                 2√7

                                                        3√7 + √3

4.      Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilainya…

a.       √3 log 1/243   

b.      ½  log 125

c.       c. log 8 + log 125-log 4-log25-log 1,25+log 0,8

Jawab :   a) -10                        b) 9/24             c) 2

Cara → a) √3 log    1   = 3 0.5 log 3 -5 =    -5   = -10

                          243                              0,5

            B) ½ log 125 x 1/36 log 8 x 625 log 6

              = log 125       x 3 log 8          x log 6

                 log ½                      log 1/36           log 625

              = 3 log 5        x log 2             x log 6

                -1 log 2        -1log 36           4 log 5

              =  3    x  3      =  9/24

                 -1x-1x6x4

             c) log 8x 125x 12,5x 0,8

                               4x 25

               = 10.000

                     100

               = log 100 = 2

5.      Jika log 3 = 0,4771 dan log 5 = 0,6990, tentukan nilai dari soal berikut…

a.       log 75              b.  log 135       c. log 6

Jawab :  a) 1,8750       b) 2,1303         c) 0,7781                    

           =  5

Rangkuman

• Pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai  dengan p, qbilangan bulat dan . Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. 
• Pecahan merupakan bilangan yang menggambarkan bagian dari keseluruhan.
• Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sama.
• Pecahan senilai diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama.
• Suatu pecahan  dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan faktor persekutuan terbesarnya.
• Jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkan pecahan tersebut, nyatakan menjadi pecahan yang senilai, kemudian bandingkan pembilangnya.
• Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada di sebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada di sebelah kiri. 
• Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut. 
• Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan  di mana pmerupakan kelipatan dari q, .
• Bentuk pecahan campuran  dengan  dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa .
• Untuk mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat dilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100. Jika hal itu sulit dilakukan maka dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan 100%.
• Untuk menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya,
  kemudian baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya.
• Untuk menentukan hasil perkalian dua pecahan dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
• Invers perkalian dari pecahan  adalah  atau invers perkalian dari adalah .
• Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannya hasilnya sama dengan 1.
• Untuk sebarang pecahan  dan  dengan  berlaku .
• Untuk sebarang bilangan bulat p dan p,  dan m bilangan bulat positif berlaku Bilangan pecahan  disebut sebagai bilangan pokok.
• Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan  dan m, n bilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut.

• Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukan pada masing-masing nilai tempat dengan cara bersusun. Urutkan angka-angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan dan seterusnya dalam satu kolom.
• Hasil kali bilangan desimal dengan bilangan desimal diperoleh dengan cara mengalikan bilangan tersebut seperti mengalikan bilangan bulat. Banyak desimal hasil kali bilangan-bilangan desimal diperoleh dengan menjumlahkan banyak tempat desimal dari pengali-pengalinya.
• Bentuk baku bilangan lebih dari 10 dinyatakan dengan  dengan  dan n bilangan asli.
• Bentuk baku bilangan antara 0 sampai dengan 1 dinyatakan dengan dengan  dan n bilangan asli.

Contoh Soal

1.  Hasil dari  (–12) : 3 + 8 × (–5) adalah…

Pembahasan:
(–12) : 3 + 8 × (–5) = –4 + (–40) = –44

2.  Hasil dari  −4 + 10 : 2 × (−5) adalah…

Pembahasan:
−4 + 10 : 2 × (−5) = −4 + 5 × (−5)
= −4 – 25
= −29

3.  Suhu tempat A adalah 100
 C di bawah nol, suhu tempat B adalah 200
C di atas
nol, dan suhu tempat C adalah tepat di antara suhu tempat A dan tempat B.
Suhu tempat C  adalah…

Pembahasan:
100
 di bawah nol diartikan – 100
, sedangkan 200
 di atas nol diartikan + 200
.
Selisih antara – 100
 dengan + 200
 adalah 300
, karena tempat C di antara
tempat A dan B, maka: 300
 : 2 = 150
.  Suhu tempat C adalah –100
 + 150
 = 50
.

4.  Dalam kompetisi Matematika, setiap jawaban benar diberi skor 3, jawaban 
salah diberi skor -1, dan jika tidak menjawab diberi skor 0. 
Dari 40 soal yang diujikan, Dedi menjawab 31 soal, yang 28 soal di antaranya
dijawab benar. Skor yang diperoleh Dedi adalah…

Pembahasan:
-  Tidak dijawab = 40 – 31 = 9 soal
-  Salah = 31 – 28 = 3 soal
-  28 soal benar, skornya adalah 28 × 3 = 84.
-  3 soal salah, skornya adalah 3 × (–1) = –3.
-  9 soal tidak dijawab, skornya 9 × 0 = 0
-  Skor yang diperoleh Dedi adalah 84 + (–3) + 0 = 81.

5.  Hasil dari  21 : (3 – 10) + 4 × (–2)  = …
A.  –11  C.   5
B.  –5    D.  11

Kunci Jawaban: A
21 : (3 – 10) + 4 × (–2) 
= 21 : – 7 – 8
= – 3 – 8
= – 11

6.  Hasil dari  28  +  7 × (–5) adalah ….
A. –175   C. –7
B. –63     D.   7

Kunci Jawaban: C
28  +  7 × (–5) 
= 28 – 35
= – 7

7.  Hasil dari –12 + 20 × 4 – (–6) : 3 = ...
A.  110  C. 34
B.  70    D. 30

Kunci Jawaban: B
–12 + 20 × 4 – (–6) : 3 
= –12 + 80 + 6 : 3
= 68 + 2
= 70

8.  Hasil dari 14 + (18: (–3)) – ((–2)  × 3)
adalah….
A.  –4  C. 14
B.  2    D. 42

Kunci Jawaban: C
14 + (18: (–3)) – ((–2) × 3) 
= 14 – 6 – (–6)
= 8 + 6
= 14
9.  Nilai n yang memenuhi (12 + 8) + (–3n) = –22 adalah…
A.  14  C. –13
B.  13  D. –14

Kunci Jawaban: A
(12 + 8) + (–3n) = –22 
           20 – 3n = – 22
                – 3n = – 22 – 20
               – 3n = – 42
                    n = –3/–42 = 14
10.  72 – (520 : 8) = …
A.  9  C.   7
B.  8  D.  6

Kunci Jawaban: C
72 – (520 : 8) = 72 - 65 
= 7

11.  Suhu mula-mula suatu ruangan adalah 250° C. Ruangan tersebut akan digunakan untuk menyimpan ikan sehinga suhunya diturunkan menjadi –30° C. Besar perubahan suhu pada ruangan tersebut adalah ....
A. –280° C  C. 220° C
B.  –220° C  D. 280° C

Kunci Jawaban: C
Perubahan suhu  = 25°C – (–3°C)
= 25°C + 3°C
= 28°C